poniedziałek, 12 listopada 2012

Przykładowe zadanie z zastosowaniem zmiennej losowej


Przykładowe zadanie z zastosowaniem zmiennej losowej

Rozpatrzmy dwukrotny rzut monetą. Niech zmienna losowa X charakteryzuje rzut pierwszy, a zmienna losowa Y - rzut drugi. Sprawdzić, czy te zmienne losowe są niezależne. 

Rozwiązanie

Mamy dwie zmienne losowe X i Y typu skokowego. Niech X(„Orzeł”)=Y(„Orzeł”)=1 i X(„Reszka”)=Y(„Reszka”)=0. Z natury rzutu monetą prawdopodobieństwo pojawienia się każdego ze zdarzeń dla pojedynczego rzutu jest równe i wynosi 0.5. Czyli P(X=0)=P(X=1)=P(Y=0)=P(Y=1)=0.5. Dla łącznej zmiennej losowej (X,Y) prawdopodobieństwo wypadnięcia każdego z czterech zdarzeń także jest równe i wynosi 0.25. Czyli P(X=0,Y=0)=P(X=1,Y=0)=P(X=0,Y=1)=P(X=1,Y=1)=0.25. Z definicji niezależności zmiennych losowych typu skokowego wynika, że:
\forall_{i,k} p_{ik}=p_{i\bullet}p_{\bullet k}
Gdzie rozkłady brzegowe definiowane są jako:
p_{i\bullet} = P(X=x_i) = \sum_kp_{ik}
p_{\bullet k} = P(Y=y_k) = \sum_ip_{ik}
W naszym przypadku:
p_{0\bullet} = p_{1\bullet} = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5
p_{\bullet0} = p_{\bullet1} = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5
Wiemy, że:
\forall_{i,k} p_{ik}=0{,}25
więc spełniona jest zależność:
\forall_{i,k} p_{ik}=p_{i\bullet}p_{\bullet k}
Autor: o

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Subskrybuj: Komentarze do posta (Atom)