Interpolacja trygonometryczna

W matematyce interpolacja trygonometryczna jest metodą przybliżania funkcji za pomocą wielomianu trygonometrycznego (szeregu Fouriera). Interpolacja za pomocą wielomianu trygonometrycznego daje szczególnie dobre rezultaty przy przybliżaniu funkcji okresowych^[1], gdyż metody używające klasycznych wielomianów, z faktu, że nie posiadają okresowości, dawały duże błędy przy przybliżaniu tego typu funkcji.

Metoda ogólna

Opracowano na podstawie materiału źródłowego^[1].

Założeniem każdej interpolacji jest: $f(x_k)=y_k\, \quad k=0,1,...,(n-1)$ gdzie:

$x_{k}=k \cdot \frac{2\pi}{n} \quad k=0,1,\ldots,(n-1)$

Wtedy:

Dla nieparzystej ilości (n) punktów węzłowych:

$m= \frac{n-1}{2}$

$\Theta(x)= \frac{A _{0} }{2}+ \sum_{k=1}^{m}[A _{k} \cdot \cos(k \cdot x)+B _{k} \cdot \sin(k \cdot x) ]$

Dla parzystej ilości (n) punktów węzłowych:

$m= \frac{n}{2}$

$\Theta(x)= \frac{A _{0} }{2}+ \sum_{k=1}^{m-1}[A _{k} \cdot \cos(k \cdot x)+B _{k} \cdot \sin(k \cdot x) ]+ \frac{A _{m} }{2} \cdot \cos(m \cdot x)$

Dla obu powyższych przypadków:

$A _{j}= \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1}[f(x _{k}) \cdot \cos(k \cdot x _{j} ) ]$

$B _{j}= \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1}[f(x _{k}) \cdot \sin(k \cdot x _{j} ) ]$

Przykład

Dokonać interpolacji punktów za pomocą wielomianu trygonometrycznego:

$\begin{array}{|c||cccc|}t_k & 0 & 1 & 2 & 3 \\f_k & 1 & 3 & -2 & -1 \end{array}$

Rozwiązanie:

Ilość punktów interpolowanych: $n=4 \,$ (parzyste)

Stopień: $m=\frac{n}{2}=2$

$x_k=k\cdot \frac{2\pi}{4} \Rightarrow x_k=\left \{ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi, \ \frac{3}{2}\pi\right \}$

$A_0=\frac{2}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \cos(k\cdot x_j)= \frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^3 f_k\cdot \cos(k\cdot 0)= \frac{1}{2}(1\cdot 1+3\cdot 1-2\cdot 1-1\cdot 1)=\frac{1}{2}$

$A_1=\frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^{3}f_k\cdot \cos(k\cdot x_1)= \frac{1}{2}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\frac{\pi}{2})-2\cdot \cos(\pi)-1\cdot \cos(\frac{3}{2}\pi)]=\frac{3}{2}$

$A_2=\frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^{3}f_k\cdot \cos(k\cdot x_2)= \frac{1}{2}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\pi)-2\cdot \cos(2\pi)-1\cdot \cos(3\pi)]=-\frac{3}{2}$

$B_0=\frac{2}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \sin(k\cdot x_0)= 0$

$B_1=\frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \sin(k\cdot x_1)= \frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^3 f_k\cdot \sin(k\cdot 0)= \frac{1}{2}[1\cdot 0+3\cdot 1-2\cdot 0-1\cdot (-1)]=2$

Odpowiedź:

$\Theta(x)=\frac{1}{4}+A_1\cdot \cos(x)+B_1\cdot \sin(x)+\frac{A_2}{2}\cdot \cos(2x)=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\cos(x)+2\sin(x)-\frac{3}{4} \cos(2x)$

Wielomian zespolony

Problem staje się bardziej naturalny jeśli sformujemy go w dziedzinie zespolonej. Możemy wtedy zapisać zależność na wielomian trygonometryczny w postaci:

$p(x) = \sum_{m=-n}^n c_m e^{imx}, \,$

gdzie i jest wielkością urojoną. Jeśli założymy, że z = e^ix, wtedy

$p(z) = \sum_{m=-n}^n c_m z^{m}. \,$

Redukuje to problem interpolacji trygonometrycznej do interpolacji wielomianowej na okręgu jednostkowym. Dowód i jednoznaczność interpolacji trygonometrycznej staje się więc wtedy równoważnym odpowiednim założeniom dla interpolacji wielomianowej^[2].

Żródło : http://pl.wikipedia.org/wiki/Interpolacja_trygonometryczna

blog Piotr Kanieski

poniedziałek, 12 listopada 2012

metody numeryczne interpolacja trygonometryczna

Interpolacja trygonometryczna

Metoda ogólna

Przykład

Wielomian zespolony

Problem staje się bardziej naturalny jeśli sformujemy go w dziedzinie zespolonej. Możemy wtedy zapisać zależność na wielomian trygonometryczny w postaci:

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz