poniedziałek, 12 listopada 2012

metody numeryczne interpolacja trygonometryczna

Interpolacja trygonometryczna

W matematyce interpolacja trygonometryczna jest metodą przybliżania funkcji za pomocą wielomianu trygonometrycznego (szeregu Fouriera). Interpolacja za pomocą wielomianu trygonometrycznego daje szczególnie dobre rezultaty przy przybliżaniu funkcji okresowych^[1], gdyż metody używające klasycznych wielomianów, z faktu, że nie posiadają okresowości, dawały duże błędy przy przybliżaniu tego typu funkcji.

Metoda ogólna

Opracowano na podstawie materiału źródłowego^[1].

Założeniem każdej interpolacji jest: $f(x_k)=y_k\, \quad k=0,1,...,(n-1)$ gdzie:

$x_{k}=k \cdot \frac{2\pi}{n} \quad k=0,1,\ldots,(n-1)$

Wtedy:

Dla nieparzystej ilości (n) punktów węzłowych:

$m= \frac{n-1}{2}$

$\Theta(x)= \frac{A _{0} }{2}+ \sum_{k=1}^{m}[A _{k} \cdot \cos(k \cdot x)+B _{k} \cdot \sin(k \cdot x) ]$

Dla parzystej ilości (n) punktów węzłowych:

$m= \frac{n}{2}$

$\Theta(x)= \frac{A _{0} }{2}+ \sum_{k=1}^{m-1}[A _{k} \cdot \cos(k \cdot x)+B _{k} \cdot \sin(k \cdot x) ]+ \frac{A _{m} }{2} \cdot \cos(m \cdot x)$

Dla obu powyższych przypadków:

$A _{j}= \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1}[f(x _{k}) \cdot \cos(k \cdot x _{j} ) ]$

$B _{j}= \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1}[f(x _{k}) \cdot \sin(k \cdot x _{j} ) ]$

Przykład

Dokonać interpolacji punktów za pomocą wielomianu trygonometrycznego:

$\begin{array}{|c||cccc|}t_k & 0 & 1 & 2 & 3 \\f_k & 1 & 3 & -2 & -1 \end{array}$

Rozwiązanie:

Ilość punktów interpolowanych: $n=4 \,$ (parzyste)

Stopień: $m=\frac{n}{2}=2$

$x_k=k\cdot \frac{2\pi}{4} \Rightarrow x_k=\left \{ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi, \ \frac{3}{2}\pi\right \}$

$A_0=\frac{2}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \cos(k\cdot x_j)= \frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^3 f_k\cdot \cos(k\cdot 0)= \frac{1}{2}(1\cdot 1+3\cdot 1-2\cdot 1-1\cdot 1)=\frac{1}{2}$

$A_1=\frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^{3}f_k\cdot \cos(k\cdot x_1)= \frac{1}{2}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\frac{\pi}{2})-2\cdot \cos(\pi)-1\cdot \cos(\frac{3}{2}\pi)]=\frac{3}{2}$

$A_2=\frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^{3}f_k\cdot \cos(k\cdot x_2)= \frac{1}{2}[1\cdot \cos(0)+3\cdot \cos(\pi)-2\cdot \cos(2\pi)-1\cdot \cos(3\pi)]=-\frac{3}{2}$

$B_0=\frac{2}{n} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \sin(k\cdot x_0)= 0$

$B_1=\frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^{n-1}f_k\cdot \sin(k\cdot x_1)= \frac{2}{4} \sum\limits_{k=0}^3 f_k\cdot \sin(k\cdot 0)= \frac{1}{2}[1\cdot 0+3\cdot 1-2\cdot 0-1\cdot (-1)]=2$

Odpowiedź:

$\Theta(x)=\frac{1}{4}+A_1\cdot \cos(x)+B_1\cdot \sin(x)+\frac{A_2}{2}\cdot \cos(2x)=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\cos(x)+2\sin(x)-\frac{3}{4} \cos(2x)$

Wielomian zespolony

Problem staje się bardziej naturalny jeśli sformujemy go w dziedzinie zespolonej. Możemy wtedy zapisać zależność na wielomian trygonometryczny w postaci:

$p(x) = \sum_{m=-n}^n c_m e^{imx}, \,$

gdzie i jest wielkością urojoną. Jeśli założymy, że z = e^ix, wtedy

$p(z) = \sum_{m=-n}^n c_m z^{m}. \,$

Redukuje to problem interpolacji trygonometrycznej do interpolacji wielomianowej na okręgu jednostkowym. Dowód i jednoznaczność interpolacji trygonometrycznej staje się więc wtedy równoważnym odpowiednim założeniom dla interpolacji wielomianowej^[2].

Żródło : http://pl.wikipedia.org/wiki/Interpolacja_trygonometryczna

Metody numeryczne- Interpolacja liniowa

Interpolacja liniowa

Interpolacja liniowa szczególny przypadek interpolacji za pomocą funkcji liniowej. Jeśli $x$ określa wartość z przedziału $x_0 < x < x_1$ , a $y_0 = f(x_0)$ i $y_1 = f(x_1)$ tablicę wartości danej funkcji, oraz $h = x_1 - x_0$ odstęp pomiędzy argumentami, wówczas liniową interpolację wartości $L(x)$ funkcji $f$ otrzymujemy jako:

$L(x) = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{h}(x-x_0).$

źródło : http://pl.wikipedia.org/wiki/Interpolacja_liniowa

metody numeryczne - interpolacja

Interpolacja

Wyróżniamy pięć rodzajów interpolacji :

interpolacja (grafika komputerowa)

interpolacja (kartografia)

interpolacja (matematyka)

interpolacja (paleografia)

interpolacja (automatyka)

Interpolacja (grafika komputerowa)

Interpolacja – w grafice komputerowej jest to proces mający na celu utworzenie nowego, wcześniej nieistniejącego piksela na podstawie pikseli sąsiadujących z pikselem tworzonym tak, aby był on jak najlepiej dopasowany optycznie do przetwarzanego obrazu. Interpolację wykorzystuje się przy resamplingu, uzupełnianiu i korygowaniu obrazów oraz automatycznej korekcie obrazów w skanerach do filmów.

Rodzaje

Istnieją cztery główne rodzaje interpolacji:

Interpolacja metodą "najbliższego sąsiada", ang. nearest neighbor - przy powiększaniu odbywa się wierne kopiowanie najbliższego piksela. W przypadku skalowania innego niż o wielokrotność 100% jest to statystyczne kopiowanie niektórych pikseli. Przy pomniejszaniu jest to mechaniczne pomijanie niektórych pikseli. Metoda najprostsza i wymagająca od komputera najmniejszej mocy obliczeniowej. Jest to interpolacja rzadko stosowana, ponieważ w przypadku dużych powiększeń wyraźnie widać grupy identycznych pikseli, a granice pomiędzy pikselami są wyraźne, ostre, nie rozmyte. Metoda dobra przy obrabianiu zrzutów z ekranu monitora, np. okien dialogowych, przycisków. Można jej także użyć do najbardziej kontrastowych obrazów, oraz obrazów o motywach wyraźnie ułożonych na siatce. Decyzję należy podjąć drogą eksperymentu - wszystko zależy od oczekiwanych rezultatów. Jest to jedyna interpolacja nie powodująca rozmycia kształtów – owo rozmycie jest jednak najczęściej potrzebne dla zachowania naturalnego wyglądu obrazu.
Interpolacja dwuliniowa, ang. bilinear - metoda pośrednia, trochę bardziej obciąża komputer ale i daje lepszy, łagodniejszy dla oczu obraz. Piksele są powielane lub redukowane z uwzględnieniem koloruczterech sąsiednich pikseli, stykających się z danym pikselem bokami.
Interpolacja dwusześcienna, ang. bicubic – najlepszy efekt końcowy, opcja domyślna w większości programów. Krawędzie są naturalnie, łagodnie rozmyte, a obraz po transformacji najbardziej wśród tych trzech metod przypomina obraz początkowy. Metoda polega na uwzględnieniu kolorów wszystkich ośmiu pikseli stykających się bokami lub rogami z danym pikselem.
Interpolacja algorytmem Lanczosa - uwzględniająca sąsiadujące punkty w kwadratach 4x4, 6x6 lub 8x8. W pierwszym przypadku algorytm jest zbliżony wynikami do interpolacji dwusześciennej, w pozostałych daje lepsze wyniki, ale czas wykonania obliczeń jest znacząco dłuższy.

Ponieważ obraz bitmapowy przypomina szachownicę lub papier milimetrowy, to wszelkie obracanie bitmapy o kąt inny niż wielokrotność 90 stopni odbywa się również na drodze interpolacji.

Interpolacja (kartografia)

Interpolacja – wskazanie położenia wybranej wartości pośredniej między dwiema wartościami punktów odniesienia.

Interpolację wykonuje się na podstawie szkicu z pomiarów tachimetrycznych. Można też założyć, że spadki terenu między punktami wysokościowymi są jednostajne – dwa punkty jednoznacznie opisują odcinek linii spadku, na którym można określić punkty o wysokościach odpowiadających cechom interpolowanych poziomic.

Metody interpolacji poziomic:

§ rachunkowa

§ graficzna (linii równoległych)

§ mechaniczna (specjalne przyrządy)

§ komputerowa (oprogramowanie)

Interpolacja (matematyka)

Interpolacja – metoda numeryczna polegająca na wyznaczaniu w danym przedziale tzw. funkcji interpolacyjnej, która przyjmuje w nim z góry zadane wartości w ustalonych punktach, nazywanych węzłami. Stosowana jest ona często w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami oraz w celu uproszczenia skomplikowanych funkcji, np. podczas całkowania numerycznego. Interpolacja jest szczególnym przypadkiem metod numerycznych typu aproksymacja.

Interpolacja wielomianowa

Interpolacja liniowInterpolacja wielomianowa polega na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Metoda ta była rozwinięta przez Josepha Lagrange'a a jej podstawą jest twierdzenie, że

Dla danych $n+1$ punktów pomiarowych istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej n interpolujący te punkty.

Zwykle zakłada się o funkcji interpolowanej, że jest ciągła, choć często dodaje się warunki różniczkowalności, które umożliwiają dokładniejsze oszacowania błędów przybliżeń. Najprostszym przypadkiem jest interpolacja liniowa, zadanie interpolacji dla dwóch węzłów $x_0$ i $x_1$ . Rozwiązaniem w klasie wielomianów pierwszego stopnia jest wtedy funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez punkty $(x_0, f(x_0))$ i $(x_1, f(x_1))$ (por. rysunek).

Interpolacja (paleografia)

Interpolacja – w paleografii jest to wstawienie do istniejącego tekstu fragmentów (słów lub zdań), które oryginalnie się w tym tekście nie znajdowały. Może ona powstać w wyniku błędu kopisty lub drukarzaalbo być wynikiem kontaminacji.

Przykładem może posłużyć praktyka autorów Digestów 533 r. (część Kodyfikacji Justyniańskiej), którzy dostosowywali w ten sposób dzieła jurystów klasycznych do ówczesnych potrzeb.

Comma Johanneum może służyć jako przykład interpolacji.

Interpolacja (automatyka)

Rzeczywisty tor przemieszczania się końcówki robota często nie pokrywa się z torem określonym w programie. Tor, wzdłuż którego przemieszcza się końcówka robota, jest konsekwencją przemieszczania się każdego z napędów łańcucha kinematycznego, które jest zgodne z wektorem przemieszczenia, który z kolei jest wynikiem realizacji algorytmu sterującego według określonych wartości sterowniczych związanych z ruchem robota.

Fakt, iż tor rzeczywisty, po którym przemieszcza się końcówka robota, nie pokrywa się z torem określonym w programie, widać wyraźnie, gdy trajektoria zawarta w programie jest sumą kilku krzywych (np. interpolowanych naprzemiennie "po prostej" i "po okręgu"). Jest tak dlatego, że po każdym odcinku następuje bardzo krótkie zatrzymanie się robota w celu sprawdzenia położenia względem punktu docelowego. Po chwilowym zatrzymaniu się końcówki robota następuje natychmiastowe przemieszczenie się do następnego punktu. Dlatego też odwzorowanie toru zaprogramowanego nie jest płynne i nie pokrywa się dokładnie z torem zadanym.

Różnice są konsekwencją konieczności dokonywania ciągłych pomiarów jakości odwzorowywania drogi zadanej. Odchyłki te są odchyłkami dynamicznymi, ponieważ nie mogą przekraczać wartości dopuszczalnej, określonej dokładnością algorytmu sterowania (błąd odwzorowywania trajektorii).

Bloki programowe określające pozycje pośrednie (inaczej podporowe) manipulatora, gwarantujące zachowanie właściwego kształtu toru, nazywają się „interpolatorami trajektorii” (kształtują parametry zaprogramowanego kształtu trajektorii). Interpolator oblicza współrzędne punktów pośrednich $n_0, n_1, n_2, ..., n_a$ , trajektorii zgodnie z zadanym wzorcem drogi robota.

Informacje pobrane z http://pl.wikipedia.org (Żródlo )

poniedziałek, 5 listopada 2012

metody parabolistyczne i statystyka- korelacje

Korelacja

Odpowiedź na pytanie co to jest korelacja zacznę od zadania pomocniczych pytań.
Czy pomiędzy zarobkami a wydatkami na lody istnieje jakiś związek?
Czy pomiędzy ceną lodów a tym ile ich kupuję istnieje jakiś związek?
Czy pomiędzy czasem poświęconym na naukę statystyki a oceną z kolokwium istnieje jakiś związek?
Przy odrobinie dobrej woli na wszystkie te pytania można odpowiedzieć twierdząco.
Tak istnieje związek. Im więcej zarabiam tym więcej mogę kupić lodów. Im mniej zarabiam tym (niestety) lodów mogę kupić mniej.
Tak istnieje związek. Im lody są droższe tym mniej ich kupuję. Im są tańsze tym kupuję ich więcej!
Tak istnieje związek. Gdy uczę się dużo mam dobrą ocenę. Gdy uczę się mało kolokwium jest niezaliczone.
Zatem między tymi parami cech (zarobki i wydatki na lody, cena lodów i ilość kupowanych przeze mnie lodów, czas nauki i ocena) istnieje związek. Taki związek nazywamy właśniekorelacją.
Korelacja (współzależność, współwystępowanie) - czyli coś na coś wpływa, coś od czegoś zależy.
Mogą być trzy przypadki:
1. Między cechami występuje korelacja dodatnia.
2. Między cechami występuje korelacja ujemna.
3. Między cechami nie wystepuje korelacja.

Co to znaczy, że między cechami występuje korelacja dodatnia?

Weźmy przykład z zarobkami i wydatkami na lody. Im więcej zarabiam tym więcej mogę wydać na lody. Im mniej zarabiam tym mniej mogę wydać na lody. Zmiany wartości obu cech następują w tym samym kierunku. Albo obie rosną (zarobki i ilość kupowanych lodów rośnie) albo obie maleją (zarobki i ilość kupowanych lodów maleje).
Korelacja dodatnia oznacza, że wartości obu cech zmieniają się w tym samym kierunku(obie rosną bądź obie maleją).

Co to znaczy, że między cechami występuje korelacja ujemna?

Jeśli cena lodów rośnie kupuję ich mniej (jakby pudełko lodów kosztowało 1000zł w ogóle bym ich nie kupował).
Gdy cena lodów spada kupuję ich więcej (gdyby pudełko lodów kosztowało 1zł, codziennie na śniadanie jadłbym jedno - ze stratą dla mojej sylwetki no ale coś za coś…).
Zmiany wartości obu cech następują w przeciwnych kierunkach. Gdy wartości jednej cechy rosną (rośnie cena lodów), wartości drugiej cechy maleją (kupuję mniej lodów). I na odwrót. Gdy wartości jednej cechy maleją (maleje cena lodów), wartości drugiej cechy rosną (kupuję więcej lodów).
Korelacja ujemna oznacza, że wartości obu cech zmieniają się w przeciwnym kierunku (gdy jedna rośnie, druga maleje).

Co to znaczy, że między cechami nie występuje korelacja?

Czy pomiędzy moimi zarobkami a liczbą bocianów na łące istnieje jakiś związek?
Nie, nie ma związku. Moje zarobki nie wpływają na liczbę bocianów (no chyba, że bym je dokarmiał kupując żaby) ani liczba bocianów nie wpływa na moje zarobki! Między tymi cechami nie ma związku - czyli nie ma korelacji!

W jaki sposób obliczyć korelację?

To, że między zarobkami a wydatkami na lody istnieje korelacja jest tylko przypuszczeniem (graniczącym z pewnością ale wciąż przypuszczeniem). Aby być tego pewnym musimy to… policzyć!
Jest wiele miar służących do wyliczania korelacji między badanymi cechami. Najpopularniejszymi z nich są:
1. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona.
2. Współczynnik korelacji rang Spearmana.
3. Współczynnik zbieżności Czuprowa.
W kolejnych lekcjach na przykładach pokażę sposoby obliczania korelacji za pomocą tych trzechmiar.

Literatura:

http://zsi.tech.us.edu.pl/~nowak/ed/korelacje.pdf

Zadania:

http://www.wkuwanko.pl/ekonomia/ekonomia-korelacja---zadania_22_359.html